Notas sobre Séries Divergentes

Um complemento -- ou vários rabiscos e anotações.

Embora estas notas tenham sido escritas na ordem como foram pensadas, talvez a ordem de importância seja inversa -- a terceira parte é a fundamental, seguida da segunda (que, em setas, indica certos resultados se a primeira parte for correta).

Um problema da primeira parte é que se deseja que 2*N, por exemplo, seja o dobro do valor de N (ou seja, 2*-1/2 = -1). Mas quando aplicamos a transformação de 2N em N^(1+2/lnN), que temos é um valor complexo infinitesimalmente próximo a -1/2.

Ou seja, teríamos de restringir a equação N^k = (-1^k) / (x+1), ou suas extensões, a um valor de x finito. Mas se fazemos isso, então os resultados da definição 1 já não se justificam, já que estamos utilizando valores infinitos de x -- e talvez não se justifiquem mesmo, haja vista a definição 3 --, bem como infinitesimais -- para lnN. #

[obs.(i): se -1 = 1/(x+1)*(e^i*pi/x), então x=-2 (mas o domínio da equação são os positivos, já que não faz sentido, em princípio, transformar infinitésimos, ignoráveis no mor das vezes, em valores gigantes no meio da sala -- a idéia é resolver problemas, não criá-los]

[obs.(ii): note-se, todavia, que o problema acima seria restrito a séries monotônicas e congêneres, já que 2*S = dobro de valor de S é claramente verdadeiro para séries alternadas -- vide 2* ∑+1-1+... por exemplo.]

Um outro problema é jamais ter visto uma demonstração convincente de certos resultados -- por exemplo, a soma dos naturais ser -1/12. Aqui, escolhe-se ignorar que a soma da PG tem em seu denominador o termo "q^n". Já as provas na wikipedia, mesmo as formais, brincam com transformar a série em outra, cheia de zeros, e pela seção 2 vemos que isso não é válido, péssima prática. Na verdade, o que fazem é uma subtração do gênero

 (n^2+n)/2  -  2*[(n^2/4)+(n/2)]/2  -  2*  {[(n-1)^2/4] + [(n-1)/2]}/2,

o que simplificando elimina os n^2 e n, resultando 1/4 -- e daí igualam -3S=1/4 => -1/12.

Mas como passatempo continua valendo.

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(#) uma gambiarra que se poderia imaginar para lnN é a seguinte: como se trata da série harmônica - 0,577... (constante de Euler-Mascheroni), alguém poderia pensar em substituir os valores da série harmônica por: N^0 - N^1 + N^2 - N^3 +..., que é uma PG com valor: N^N-1/N-1 = -1/oo = 0, e lnN=-0,577...

Ocorre, todavia, que argumento similar pode ser feito para 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... e o resultado não é ln2. E, mais importante, é sempre possível que haja inúmeras substituições possíveis, no mor das vezes gerando diferentes resultados. O exemplo mais simples, creio, seja a soma 1 +1 +1 +1 + 1, cujo resultado habitual é -1/2.

Façamos, em vez disso, para um N^k, k fixo, somado infinitas (N) vezes, cada termo equivalendo a 1.

Sinf.[N^k * (-1)^k * (k+1)] = N^k+1 * (-1)^k * (k+1) = - (k+1)/(k+2).

Ou seja, para a soma normal de 1 +1 +1 + temos -1/2, mas para as demais temos -2/3, -3/4, -4/5 etc.

Nota sobre Séries Divergentes (ou S(n) = 1+2+3+4+... = -1/12)

Considerem-se os resultados da Função Theta de Riemann para inteiros negativos, e os exemplos abaixo de somatória das séries -- aplicáveis a um número finito n de termos:

Soma (1) = n
Soma (n) = (n^2+n)/2
Soma (n^2) = n^3/3 + n^2/2 +n/6
Soma (n^3) = n^4/4 + n^3/2 + n^2/4
Soma (n^4) = n^5/5 + n^4/2 + n^3/3 - n/30
Soma (n^5) = n^6/6 + n^5/2 + n^4/2,4 - n^2/12


É possível estender o resultado para uma infinidade, isto é: Soma (n^2), de 1 a N = N^3/3 + N^2/2 + N/6, e manter os resultados das somas da função Theta de Riemann, desde que N^x = (-1)^x / (1+x).(*)

N^1 => -1/2
N^2 => 1/3
N^3 => -1/4
N^4 => 1/5
N^5 => -1/6
...


De modo que ao aceitar os resultados habituais das séries divergentes, estamos utilizando um sistema em que as regras exponenciação de termos infinitos se dá de forma diferente da habitual, mas ainda assim razoavelmente inteligível -- ou pelo menos facilmente previsível.

Notar que, em particular, os resultados das séries polinomiais, 1 + q +q^2 + q^3 +... se mantêm para q>1, tal como desejado. A fórmula para finitos, [q^(n-1) - 1]/(q-1) se reduz a 1/(1-q), tendo em vista que q^N tende a zero -- pois é menor que qualquer N^q, e pela fórmula acima vimos que esta tende a zero, quanto maior o q.

(*) Obs.: no plano de Argand, teríamos z = e^iπx/(1+x); [n>=0?]

Relativistic Young's Experiment

n = x.d / λL'(1±υ)

Is it not a strange fate that we should suffer
so much fear and doubt for so small a thing?

Remember Laika

Maomé (570-2006)

Momentos Clássicos do Jornalismo

Elvis has left the building

Plato is a Planet

Pouca gente sabe, mas quando Platão criou o mito da caverna ele se referia ao Masp.

Como vovô já dizia

Por trás de toda grande verdade se esconde um fiscal de rendas.

Não contáveis com minha astúcia

Chapolim ultrapassa líder venezuelano na reta final

Hoje a Festa é Sua

Dies Irae

Fui convidado a produzir um especial de fim de ano para a seção brasileira do Discovery Channel, talvez com participação do Rei Roberto, que versará sobre a vida em nosso planeta daqui a cem anos (isto é: em 2100). Após duas semanas de pesquisa e entrevistas, chegamos a algumas conclusões:

(i) global warming

(ii) o ser humano será substituído por uma cadeira-de-balanço

(iii) o Japão vai morrer devido a um erro de cálculo na Megapirâmide

(iv) o Brasil será governado pela companhia de engenharia de tráfego do estado de São Paulo.

Como tornar-se aquilo que se é

Ciência é Poder

Dr Paul Rothemund at the California Institute of Technology can make 50 billion smileys, each a thousand times smaller than the diameter of a human hair, with his technique. In a potent demonstration of his so-called DNA origami technique, Rothemund has created half a dozen shapes, including a five-pointed star, a snowflake, a picture of the double helix and a map of the Americas in which one nanometre represents 120 kilometres.

Teologia

In the eighteenth century it was often convenient to regard man as a clockwork automaton. In the nineteenth century, with Newtonian physics pretty well assimilated and a lot of work in thermodynamics going on, man was looked on as a heat engine, about 40 per cent efficient. Now in the twentieth century, with nuclear and subatomic physics a going thing, man had become something which absorbs X-rays, gamma rays and neutrons.

My Specialty is Wisdom

Elementos de Química

Vós sois o sal da terra; se o sal perder sua salinidade, com que se há de salgar?
Resposta: Ácido + Base


Ensaio sobre a completude humana:
água + terra = Lama => vai pro fogo=> Barro => + sopro divino (ar) = é nóis na fita mano

Suprema Glória da Criação

Respect

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De que vale uma vida sem pecados, se Deus estiver praticando overbooking?

A screaming comes across the sky

It has happened before, but there is nothing to compare it to now.

Enquanto isso na sala do primário...

- Não se podem somar laranjas com bananas
- Mas você pode multiplicar.

- A ordem das parcelas não altera a soma
- Folgo em saber que a senhora refutou toda a teoria das séries infinitas.

Tema de Redação para Vestibulandos Precoces

"Como foram as minhas férias?"

A Opinião do Especialista

"Um jovem rosto, sereno e meigo... era nobre, distinto, e com lábios bem marcados" (Howard Carter, mumólogo)


Consulte seu médico regularmente.

Caçada ao Outubro Vermelho

If youre thinkin of being my brother

It dont matter

Dicas para o trabalho

Colaborou: Ronaldo Nazário

O Outro Lado da Meia-Noite

Something Wicked This Way Comes

Sermão pelo bom sucesso dos amigos que partem para o Japão a fim de vencerem na vida

Zico is the best.

Mas sério, plano infalível para lucrar loucuras: rodízio de arroz.

Será que existe por lá? Vai render uma fortuna, virar tipo exportação. O único empecilho é a ausência de uma palavra específica para arroz -- ou pelo menos foi o que me disseram, esses japoneses são todos uns loucos.

E rodízio de água para acompanhar. Perfeito. Tem Lindoya, tem Minalba, tem H2OH, tem até a fórmula (fluoretada) derivada dos estudos políticos de garotinho.

Cyber-arroz. In hoc signo vinces.