Embora estas notas tenham sido escritas na ordem como foram pensadas, talvez a ordem de importância seja inversa -- a terceira parte é a fundamental, seguida da segunda (que, em setas, indica certos resultados se a primeira parte for correta).
Um problema da primeira parte é que se deseja que 2*N, por exemplo, seja o dobro do valor de N (ou seja, 2*-1/2 = -1). Mas quando aplicamos a transformação de 2N em N^(1+2/lnN), que temos é um valor complexo infinitesimalmente próximo a -1/2.
Ou seja, teríamos de restringir a equação N^k = (-1^k) / (x+1), ou suas extensões, a um valor de x finito. Mas se fazemos isso, então os resultados da definição 1 já não se justificam, já que estamos utilizando valores infinitos de x -- e talvez não se justifiquem mesmo, haja vista a definição 3 --, bem como infinitesimais -- para lnN. #
[obs.(i): se -1 = 1/(x+1)*(e^i*pi/x), então x=-2 (mas o domínio da equação são os positivos, já que não faz sentido, em princípio, transformar infinitésimos, ignoráveis no mor das vezes, em valores gigantes no meio da sala -- a idéia é resolver problemas, não criá-los]
[obs.(ii): note-se, todavia, que o problema acima seria restrito a séries monotônicas e congêneres, já que 2*S = dobro de valor de S é claramente verdadeiro para séries alternadas -- vide 2* ∑+1-1+... por exemplo.]
Um outro problema é jamais ter visto uma demonstração convincente de certos resultados -- por exemplo, a soma dos naturais ser -1/12. Aqui, escolhe-se ignorar que a soma da PG tem em seu denominador o termo "q^n". Já as provas na wikipedia, mesmo as formais, brincam com transformar a série em outra, cheia de zeros, e pela seção 2 vemos que isso não é válido, péssima prática. Na verdade, o que fazem é uma subtração do gênero
(n^2+n)/2 - 2*[(n^2/4)+(n/2)]/2 - 2* {[(n-1)^2/4] + [(n-1)/2]}/2,
o que simplificando elimina os n^2 e n, resultando 1/4 -- e daí igualam -3S=1/4 => -1/12.
Mas como passatempo continua valendo.
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(#) uma gambiarra que se poderia imaginar para lnN é a seguinte: como se trata da série harmônica - 0,577... (constante de Euler-Mascheroni), alguém poderia pensar em substituir os valores da série harmônica por: N^0 - N^1 + N^2 - N^3 +..., que é uma PG com valor: N^N-1/N-1 = -1/oo = 0, e lnN=-0,577...
Ocorre, todavia, que argumento similar pode ser feito para 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... e o resultado não é ln2. E, mais importante, é sempre possível que haja inúmeras substituições possíveis, no mor das vezes gerando diferentes resultados. O exemplo mais simples, creio, seja a soma 1 +1 +1 +1 + 1, cujo resultado habitual é -1/2.
Façamos, em vez disso, para um N^k, k fixo, somado infinitas (N) vezes, cada termo equivalendo a 1.
Sinf.[N^k * (-1)^k * (k+1)] = N^k+1 * (-1)^k * (k+1) = - (k+1)/(k+2).
Ou seja, para a soma normal de 1 +1 +1 + temos -1/2, mas para as demais temos -2/3, -3/4, -4/5 etc.
