Nota sobre Séries Divergentes (ou S(n) = 1+2+3+4+... = -1/12)

Considerem-se os resultados da Função Theta de Riemann para inteiros negativos, e os exemplos abaixo de somatória das séries -- aplicáveis a um número finito n de termos:

Soma (1) = n
Soma (n) = (n^2+n)/2
Soma (n^2) = n^3/3 + n^2/2 +n/6
Soma (n^3) = n^4/4 + n^3/2 + n^2/4
Soma (n^4) = n^5/5 + n^4/2 + n^3/3 - n/30
Soma (n^5) = n^6/6 + n^5/2 + n^4/2,4 - n^2/12


É possível estender o resultado para uma infinidade, isto é: Soma (n^2), de 1 a N = N^3/3 + N^2/2 + N/6, e manter os resultados das somas da função Theta de Riemann, desde que N^x = (-1)^x / (1+x).(*)

N^1 => -1/2
N^2 => 1/3
N^3 => -1/4
N^4 => 1/5
N^5 => -1/6
...


De modo que ao aceitar os resultados habituais das séries divergentes, estamos utilizando um sistema em que as regras exponenciação de termos infinitos se dá de forma diferente da habitual, mas ainda assim razoavelmente inteligível -- ou pelo menos facilmente previsível.

Notar que, em particular, os resultados das séries polinomiais, 1 + q +q^2 + q^3 +... se mantêm para q>1, tal como desejado. A fórmula para finitos, [q^(n-1) - 1]/(q-1) se reduz a 1/(1-q), tendo em vista que q^N tende a zero -- pois é menor que qualquer N^q, e pela fórmula acima vimos que esta tende a zero, quanto maior o q.

(*) Obs.: no plano de Argand, teríamos z = e^iπx/(1+x); [n>=0?]